Kostenfunktion vs. indirekte Produktionsfunktion
Die Kostenfunktion $c(\vq, x)$ ist die Lösung der Problems der Kostenminimierung \[ c(\vq,x)=\min_{\vv\geq\vO}\left\{\vq\T\vv\ |\ x(\vv)\geq x \right\}, \] so wie die indirekte Produktionsfunktion $z(\vq, c)$ das Problem der Outputmaximierung \[ z(\vq, c)=\max_{\vv\geq\vO}\left\{x(\vv)\ |\ \vq\T\vv\leq c\right\} \] bezeichnet. Neben der Symmetrie wird die Verwandschaft (Dualität) beider Probleme deutlich, wenn man den Parameter $c$ der zweiten Problems mit der Lösung des ersten Problems gleichsetzt, d.h. $c=c(\vq, x)$. Dann folgt \[ x = c^{-1}(\vq, c) = z(\vq, c). \] Die indirekte Produktionsfunktion ist in Bezug auf die Kostensumme die Umkehrfunktion der Kostenfunktion. Unterstellt man ganz analog $x=z(\vq, c)$, so folgt \[ c = z^{-1}(\vq, x) = c(\vq, x) \] Damit erhält die zunächst schwer interpretierbare indirekte Produktionsfunktion eine nahe Verwandte, nämlich die Kostenfunktion, deren Interpretation Ökonomen erheblich leichter fällt. indirekte Produktionsfunktion $z(\vq, c)$Kostenfunktion $c(\vq, x)$